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By Iwaniec H., Kowalski E.

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Les topos tels que Hq (X, F) = 0 pour tout q > 0, tout objet X, tout faisceau abélien F. 15. 4). Montrer que pour tout faisceau abélien F et tout monomorphisme X → Y, l’homomorphisme F(Y) → F(X) est surjectif. Soit E(G) le groupe G considéré comme espace homogène sous lui-même. C’est un objet de BG . Le topos BG/E(G) est équivalent au topos ponctuel (IV 8). Le morphisme E(G) → e (e objet final de BG ) est un épimorphisme. Pour tout faisceau abélien F de BG , le faisceau F|E(G) est flasque. En déduire que la propriété d’être flasque ou injectif n’est pas de caractère local.

Elle est de caractère local. 4) Soit E un topos possédant la propriété suivante : toute famille épimorphique (Xi → e), i ∈ I, est majorée par une famille épimorphique finie. Alors toute famille de supports de E est de caractère local. En effet, en utilisant l’exemple 1), il suffit de montrer qu’une limite inductive filtrante Φλ de familles de caractère local est une famille de caractère local, ce qui résulte immédiatement du passage à la limite inductive sur la suite d’ensembles Φλ −→ Φλ (Xi × Xj ), Φλ (Xi ) ⇒ i i,j où (Xi → e), i ∈ I, est une famille épimorphique finie.

E. est l’objet semi-simplicial final) est spécial de type p (resp. e. si K. satisfait les conditions HR 2) et HR 3) (resp. 1. 4. — 1) Le composé de deux morphismes spéciaux (resp. spéciaux de type p) est un morphisme spécial (resp. spécial de type p). 57 f 2) Soient K. un préfaisceau semi-simplicial spécial (resp. spécial de type p), X. − → Y. un morphisme spécial (resp. spécial de type p) et u : K. → Y. un morphisme de complexes. Alors le produit fibré P. = K. X. est spécial (resp. spécial de type p).

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