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By Otto Forster

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N. Dann ist bν } kompakt in Rn . ¨ Beweis. Sei (Ui )i∈I eine offene Uberdeckung von Q. Annahme. Q kann nicht durch endlich viele Uiκ u¨ berdeckt werden. Um diese Annahme zum Widerspruch zu f¨uhren, konstruieren wir durch vollst¨andige Induktion eine Folge von abgeschlossenen Teilquadern Q 0 ⊃ Q1 ⊃ Q2 ⊃ . . I. Differentialrechnung im Rn 28 mit folgenden Eigenschaften: i) Qm kann nicht durch endlich viele Uiκ u¨ berdeckt werden. ii) diam(Qm ) = 2−m diam(Q). Wir setzen Q0 := Q. Sei Qm schon konstruiert, Qm = I1 × I2 × .

Dies folgt daraus, dass die Funktion einer Variablen ξ→ x21 + . . + ξ2 + . . + x2n differenzierbar ist. Mit der Kettenregel f¨ur Funktionen einer Ver¨anderlichen erh¨alt man (x1 , . . , xi−1 , xi+1 , . . , xn sind dabei als Konstanten zu betrachten) ∂ 2 ∂r = (x + . . + x2i + . . + x2n )1/2 ∂xi ∂xi 1 1 xi = (x21 + . . + x2i + . . + x2n )−1/2 · 2xi = . 3) Sei f : R∗+ → R eine beliebige differenzierbare Funktion. Dann ist die zusammengesetzte Funktion x → f (r(x)), die meist kurz mit f (r) bezeichnet wird, auf Rn 0 definiert und dort partiell differenzierbar.

Der Winkel ϑ ist also bestimmt durch die Gleichung cos ϑ = f (t1), g (t2) f (t1) · g (t2) g (t2 ) f ϑ mit 0 π. 5 Bogenl¨ange Sei [a, b] ⊂ R, a < b ein abgeschlossenes Intervall und f : [a, b] → Rn eine Kurve. Unterteilt man das Intervall a = t0 < t1 < . . < t k = b und verbindet die Punkte f (ti−1) mit f (ti ), f¨ur i = 1, 2, . 6. Die L¨ange dieses Polygonzugs ist gleich k p f (t0, . . ,tk ) := ∑ f (ti) − f (ti−1 ) . i=1 Die L¨ange der Kurve wird nun definiert als Grenzwert der L¨angen der Polygonz¨uge bei immer feineren Unterteilungen.

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