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By G. Lumer (auth.)

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Sous cos - conditions on peut d~s ce u~ de u - u au moyen de (52) 9 Ii s alors v~ris que o singulier. Soit y s ~ ( A ) , u = UYa + uYs la d~composition est totalement y . Si par rapport ~ 49 y n'est dans aucun des U'=a O Pk ' alors et tousles Si u j sont y-singuliers, donc U est y-singulier (par (52)) 9 a = u = uj _~ k y E P_ , alors u Y u j et Z u est y-singulier. 1. 1. 7. Bernard dans [Re] totalement singuli~re s E~ tels que H(y) . D~finissons A~ aussi : ~s , EA = [s dans est une alg~bre de s des ] .

4. 5. Th~or~me. (Mergelyan). Soit Soit ~ ( K ) K un compact simplement connexe quelconque du plan complexe. l'ensemble des s complexes continues sur lomorphes aux points int6rieurs de K . Alors ~ ( K ) K et ho- = P(K) . D~monstration D6signons par et ~(K) ~ A et B respectivement les restrictions de bE . Par le r~sultat de Walsh mentionn~ CR(~K ) , et l'on a d'une part s que ~ ( A ) mesure representative unique de chaque ACB . 4. B et O=Re(y(u+i~u)) 2 = L2(~)-dense dans B--A pour P(K) Re B , on d~duit - 51 - II - INTRODUCTION D'HYPOTHESES LES ALGEBRES ADDITIONNELLES CONCERNANT OU LES MESURES REPRESENTATIVES.

En s Lindel~s . (Volt ~k ~ s dans LP(P), Le reste est evident. D. 3o12. est une s abstraite du principe de Phragmen- [GILl , pattie IV ) . Consid~rons maintenant la question de prolonger HP(Y) e t a LP(~) ,3 ~ > O H(Y) , ceci nous sera utile par la suite. 13. Theor~me. Y H(7) se prolonge a partir de sur les complexes A , en un homomorphisme continu de . 7. ~ ,dans 7(s . , avec une mesure de Jensen m dans si cela ~ , et trouver IY(gk) I > k6-~ + = . My . Alors , logIY(%)l]logl%i ]log+i %1 et sup[J ~ log + ''lgkl d~ I ~6M 7} ~ constante, puisque gk--O dans H .

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